כתיבה ועריכהמעודכנת: ד"רסאמר בנא פברואר 2005

Transcript

1 הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה להנדסת חשמל תורת המעגלים החשמליים ( 445) רשימות לפי הרצאותיו של פרופ' לוי שכטר מהדורת נובמבר 5 כתיבה ועריכהמעודכנת: ד"רסאמר בנא כתיבה ועריכה ראשונית: עידו ליבנה וניר גלוזמן פברואר 5 אוקטובר 3

2 תורת המעגלים החשמליים תוכן העניינים תוכן העניינים מבוא והגדרות מבוא. מעגל מקובץ. גדלים מאפיינים.3 כיווני ייחוס.4 רכיבים ליניאריים אידיאליים משוואות מצב.5 חוק קריכהוף לזרמים.6 חוק קריכהוף למתחים.7 תרגיל מסכם.8 שיקולי סימטריה.9. רכיבי המעגל החשמלי. מיון רכיבים במעגל חשמלי 3. נגד 3.. נגד ליניארי קבוע בזמן 5.. נגד ליניארי תלוי זמן 8..3 נגד לא ליניארי i 3..4 הכללה ריבוי הדקים

3 תורת המעגלים החשמליים תוכן העניינים קבל סליל שיקולי הספק ואנרגיה ברכיבים פסיביים מקורותבלתי תלויים מקורות מבוקרים משפטי רשת משפט הסופרפוזיציה 3. משפט ההצבה 3. משפט תבנין נורטון 3.3 משפט ההדדיות 3.4 ii משטר מתמיד סינוסי הנחות יסוד 4. תיאור אות סינוסואידלי באמצעות פאזור 4. תכונות הפאזור 4.3 אימפדנס ואדמיטנס 4.4 דוגמא - מעגל RLC טורי 4.5 ניתוח מעגלים בשיטת הצמתים 4.6 ניתוח מעגליםבשיטת העיניים 4.7

4 תורת המעגלים החשמליים תוכן העניינים שיקולי הספק ואנרגיה במשטר מתמיד סינוסי דוגמא העברת הספק מקסימלי תיאום אימפדנסים עיקרון הסופרפוזיציה ומקורות בתדרים שונים מעגלי תהודה מעגלי תהודה דוגמא # מעגלי תהודה דוגמא # מעגלי תהודה דוגמא מסכמת תופעות מעבר במעגלים מסדר ראשון מבוא לפתרון מעגלים בתחום הזמן 5. תגובה לכניסה אפס (ZIR) 5. תגובה למצב התחלתי אפס (ZSR) 5.3 תגובה כוללת: לכניסה ולתנאי התחלה 5.4 תגובת מעגל מסדר ראשון לפונקצית המדרגה 5.5 תגובת מעגל מסדר ראשון לפונקצית דלתא של דיראק 5.6 שיקולי אנרגיה והספק במעגלים מסדר ראשון 5.7 ZIR במעגל RC עם רכיבים תלויי זמן 5.8 iii

5 תורת המעגלים החשמליים תוכן העניינים תופעות מעבר במעגלים מסדר שני מעגלים מסדר שני מבוא 6. תגובה לכניסה אפס 6. תגובה לתנאי התחלה אפס 6.3 משפט גרין 6.4 שימוש בהתמרת פורייה לפתרון משוואות דיפרנציאלית רגילות 6.5 הערכת פונקצית גרין ברישומה האינטגרלי 6.6 משוואות מצב מרחב המצב 6.7 שיקולי אנרגיה והספק במעגלים מסדר שני 6.8 דוגמא מסכמת 6.9 פתרון מצב מתמיד סינוסי לעומת פתרון תופעת מעבר שיטות מטריציות ניתוח מעגלים בשיטת הצמתים 7. משפט תלגן חוק שימור האנרגיה 7. ניתוח מעגלים בשיטת העיניים 7.3 הכללת השיטה למקורות מבוקרים 7.4 הוכחת השקילות לפי תבנין או נורטון בשיטת המטריצות 7.5 iv

6 תורת המעגלים החשמליים תוכן העניינים מעגלים לא ליניאריים מבוא 8. נקודת עבודה במעגל לא לינארי 8. פתרון בשיטת ההפרעות: סטייה מלינאריות של רכיב אוהמי 8.3 סטייה מליניאריות במעגלים לא ליניאריים עם רכיבים ריאקטיביים 8.4 שיקולי אנרגיה במעגל לא ליניארי 8.5 תופעת מעבר במעגל לא ליניארי 8.6 כאוס במעגל לא לינארי תופעות צימוד מבוא 9. צימוד השראותי 9. פתרון מעגל חשמלי במצב מתמיד סינוסי ובו סלילים מצומדים 9.3 שנאי אידיאלי 9.4 צימוד קיבולי v

7 תורת המעגלים החשמליים תוכן העניינים. תכנון מעגלים חשמליים 9 93 מבוא מעגל מייצר פולסים... רשת זוגיים הקדמה אפיון רשת זוגיים מטריצת אמפידנסים מטריצת אדמיטנסים דוגמאות רשת T רשת Π ניתוח מעגל מסדר 3 במצב מתמיד סינוסי מטריצה היברדית מטריצת העברה תמסורת דוגמאות למטריצת העברה מעגלי תמורה של זוגיים vi תכונות ושימושים של רשתות זוגיים.. זוגיים כממירי התנגדות.. זוגיים סימטריים

8 תורת המעגלים החשמליים תוכן העניינים מבוא למערכות אלקטרו-מכניות הקדמה. מערכות משמרות אנרגיה וקו-אנרגיה. מבוא למעגלים מגנטיים.3 מערכת מגנטו-מכנית.4 מערכת אלקטרו-מכנית.5 דוגמא מסכמת.6 vii

9 תורת המעגלים החשמליים מבוא והגדרות מבוא הפרק הראשון - מבוא והגדרות. ההתפתחויות הטכנולוגיות הנרחבות במאה האחרונה התאפשרו במידה רבה הודות להבנה מעמיקה של תופעות אלקטרומגנטיות. הקורס תורת המעגלים החשמליים מלמד שיטות יסודיות לניתוח והבנת מעגלים חשמליים המשולבים כמעט בכל ענף והנמצאים בכל מכשיר חשמלי ביתי בשימוש היום-יומי. היסטוריה קצרה של האלקטרוניקה: שפופרות ריק, טרנזיסטור מצב מוצק, מיקרו-אלקטרוניקה (מעגלים משולבים), אופטו-אלקטרוניקה, ננו-אלקטרוניקה... מטרות. ניתוח מעגלים בתחום התדר ובתחום הזמן. שיקולי הספק ואנרגיה 3. מושגי תהודה 4. תופעות צימוד 5. תופעות לא לינאריות 6. מערכות אקלטרו-מכניות

10 תורת המעגלים החשמליים מבוא והגדרות. מעגל מקובץ המעגלים בהם נעסוק בקורס הינם מעגלים מקובצים, להבדיל ממערכות מפולגות. במעגלים המקובצים בהם נדון הרכיבים הינם מודל הנדסי מקורב להתקנים אלקטרומגנטיים מורכבים יותר. רכיב מקובץ מאופיין על- ידי כך שמימדיו האופייניים,, L c קטנים מאוד ביחס לאורך הגל המתאים לתדר החשמלי ω במעגל: c c (.) λ = = π Lc ; ω=π f f ω משמעות הדבר היא שלאורך ההתקן השדות האלקטרומגנטיים אחידים. האפשרות להגדיר בהמשך את המושגים מתח וזרם. תכונה זו למעשה נותנת לנו את ניתן גם להגדיר תכונה זו על-ידי כך שנניח שפרק הזמן שלוקח לגל מישורי לעבור את ההתקן, τ, קטן בהרבה מהזמן האופייני במעגל: כמובן, שני התנאים הנ"ל שקולים. איור.: הנחת המעגל המקובץ מימד אופייני לעומת אורך גל (.) τ = Lc T c f = c לפתור מערכת של משוואות דיפרנציאליות חלקיות, על-בסיס קירוב הנדסי זה ניתן לפשט את משוואות מקסוול ובמקום ניתן לפתור מערכת של משוואות רגילות. בתורת השדות

11 תורת המעגלים החשמליים האלקטרומגנטיים, הקירוב של מעגל מקובץ נקרא הקירוב הקווזיסטטי, החוקים המתבססים עליו מבוא והגדרות (חוקי קירכהוף) מהווים קירוב למשוואות מקסוול. בהנחת המעגל המקובץ, ניתן להחליף מערכת אלקטרומגנטית באלמנט מקובץ אשר מתאר את התנהגות ההתקן בתנאי ההנחה. לפיכך, בניתוח מעגלים מקובצים, אין אנו מתייחסים למבנה הפנימי של הרכיב. כל מערכת חשמלית בסיסית מכילה 4 מרכיבים עיקריים: מקור מספק אנרגיה חשמלית (סוללה/גנראטור). צרכן/עומס מנצל את האנרגיה החשמלית (מנורה/גוף חימום). תמסורת מכוונת את האנרגיה מהמקור אל העומס (חוטים). בקרה בקרת מעבר האנרגיה (מפסק). 3

12 תורת המעגלים החשמליים מבוא והגדרות.3 גדלים מאפיינים מעגלים חשמליים אשר ננתח במהלך הקורס, בנויים בעיקר מאוסף של אלמנטים מקובצים המחוברים יחדיו ומוזנים ממקורות שונים. ניתן לאפיין את אשר מתרחש במערכת חשמלית או ברכיב מסוים על-ידי שני גדלים אופייניים והם: הזרם החשמלי והמתח החשמלי. כשנרצה למשל לעמוד על אופיו של רכיב מסוים, נגדיר לגביו מה הקשר בין המתח החשמלי על-פניו ובין הזרם החשמלי הזורם דרכו. א. הזרם החשמלי את הזרם החשמלי ברכיב מסוים נסמן ב- I אוi. הזרם החשמלי מתאר את קצב השינוי (הזמני) בכמות המטען ברכיב נתון: Q dq (.3) I = = t dt כאשר I מסמן את עוצמת הזרם, Q ה שינוי בכמות המטען, t פרק הזמן שלוקח לשינוי Q להתרחש. יחידות הזרם החשמלי הם מטען ליחידת זמן: [ I ] Coulomb = = Ampere sec זרם חשמלי מתאר תהליך של תנועת מטען ממקום למקום ואת קצב התהליך הזה. (.4) 4

13 תורת המעגלים החשמליים במרחב החופשי צפיפות הזרם ליחידת שטח הנוצרת כתוצאה מתנועת מטען במהירות קבועה הביטוי הבא: מבוא והגדרות u נתונה על-ידי (.5) מהירות ל הסחיפה ש המטען J = q n u צפיפות המטען מטען חלקיק באיור. מומחשת תנועת מטען במרחב החופשי. הזרם נתון על-ידי צפיפות הזרם הזורמת בשטח הנתון (.6) I = J A הערה: הזרם מוגדר בכיוון תנועת המטענים החיוביים. מכיוון שבמוליכים פשוטים, המטען החופשי להולכה הוא בדרך כלל אלקטרונים שמטענם שלילי, מוגדר הזרם בכיוון הפוך לכיוון הזרימה הפיזיקלי של "החומר". איור.: תנועת מטען במרחב חופשי 5 איור.3: חישוב זרם חשמלי מידיעת צפיפות הזרם בחתך נתון

14 תורת המעגלים החשמליים ב. המתח החשמלי את מפל המתח על-פני רכיב מסוים נסמן ב- V או מבוא והגדרות 6.v גודל זה מהווה מדד לאנרגיה האגורה או זורמת ברכיב מסוים בזמן נתון. על-מנת להמחיש זאת ניקח למשל מטען נקודתי Q ומטען בוחן נקודתי q הנמצאים במרחק r אחד מהשני כמתואר באיור.4. הפוטנציאל החשמלי סביב המטען Q נתון (ביחידות- MKSA ) על-ידי הביטוי הבא: (.7) Q φ() r = 4πε r איור.4: מטען בוחן q במרחק הפוטנציאל במרחב תלוי במרחק מהמטען בלבד ולכן השדה והכוח הם רדיאליים. נזכור כי: כלומר מיקום המטען Q במרחב ביחס לראשית. r ממטען נקודתי Q r = r r r הוא וקטור בגודל נמנע מכתיב וקטורי אך (.8) בכיוון r r (זהו וקטור היחידה המכוון מהראשית החוצה). לכן, השדה החשמלי והכוח החשמלי אשר מרגיש מטען הבוחן הינם רדיאליים, דהיינו: (.9) Er ( ) = E( r) Fr ( ) = F( r) בצורה מפורשת השדה החשמלי נתון על-ידי: (.) r r r r φ() r Q Er () r = = r 4πε r

15 תורת המעגלים החשמליים ואילו הכוח אשר מפעיל שדה זה על מטען בוחן q, כתלות במרחק הוא: מבוא והגדרות (.),r = r הינה: qq Fr() r = qer() r = 4πε r העבודה הנדרשת על-מנת להביא את המטען מ"אינסוף" (שם הפוטנציאל הוא אפס) עד לנקודה (.) r r r φ W = dr' Fr ( r') = q dr' E( r') = q dr' = q[ φ( r ) φ( )] = qv r הערות: במעגלים חשמליים קוראים באופן כללי לנקודת האינסוף המתח. שים-לב שהמתח החשמלי הינו מדד לאנרגיה ליחידת מטען "אדמה". באופן טבעי זהו האפס של ייחוס בהתאמה היחידות של (.3), V W ברכיב = q [ V] Joule = = Volt Coulomb המתח החשמלי הינן: 7

16 תורת המעגלים החשמליים מבוא והגדרות.4 כיווני ייחוס כפי שציינו בסעיף הקודם, רכיב חשמלי מאופיין בעיקר על-ידי שני גדלים, הזרם החשמלי והמתח החשמלי. פתרון מעגל חשמלי, השלב הראשון הינו להגדיר את הכיוון של אחד מהגדלים הנ"ל עבור הרכיבים השונים. לצורך עבודה שיטתית ומסודרת, נגדיר כיווני יחוס של הזרם והמתח על-פני רכיב כלשהו כמתואר באיור.5: כלומר, איור.5: כיווני ייחוס מתח/זרם ברכיב חשמלי כלשהוא כיוון הזרם מנוגד לקוטביות המתח על-פני הרכיב. כיווני יחוס אלה ייקראו בהמשך תואמים. הגדרנו את הכיוונים האלה באופן שרירותי לחלוטין וניתן היה להגדיר אותם הפוך. עם כיווני ייחוס תואמים. הערות: הכיוונים המסומנים הרכיב או המתח על-פניו. בהתאם לאמור לעיל, כיווני ייחוס בהמשך, נעבוד על-פני הרכיב הם שרירותיים ואינם מסמנים את הכיוון הפיזיקלי של הזרם דרך כאשר ניגשים לפתרון מעגל חשמלי, יש לקבוע באופן שרירותי את כיוון הזרם ברכיבים השונים ובהתאם לקבוע את קוטביות המתח על-פני הרכיבים כך שכיווני הייחוס תואמים. 8

17 מבוא והגדרות תורת המעגלים החשמליים לאחר פתרון המעגל, במידה והזרם ברכיב מסוים מקבל ערך שלילי, סימן שהכיוון אשר נבחר בהתחלה נוגד את כיוונו "האמיתי". הספק רגעי של רכיב מוגדר על-ידי המכפלה בין המתח על-פני הרכיב לבין הזרם דרכו, תואמים: כלומר רכיב בו Pt () = V() t It () הזרם דרכו והמתח על-פניו מתנהגים פיזיקלית בכיוונים הוצר הוא חיובי באותו רגע. אם הכיוונים הפוכים, ההספק יהיה שלילי. תואמים באופן רגעי, בכיווני ייחוס (.4) ההספק כי דוגמא #: נתבונן בנגד ובסוללה המחוברים בטור. על-סמך הסכם הסימנים הקשר בין מתח לזרם בנגד ליניארי (המציית לחוק אוהם) הוא V = RI לכן, ההספק הוא חיובי. P = RI משמעות הדבר שכאשר הספק אלקטרומגנטי הולך לאיבוד (הופך לחום) ההספק הוא חיובי. אם נבחן עתה מקור כלשהו (מתח או זרם), הרי שההנחה הבסיסית היא שהוא מספק הספק אלקטרומגנטי, לפיכך, כפוף להסכם הסימנים הנ"ל ההספק של מקור הוא שלילי. אם רוצים שההספק המסופק על- ידי מקור באותו כיוון. יהיה חיובי הרי שחייבים להסכים שהמתח והזרם על מקור יהיו איור.6: כיווני יחוס במוקר מתח אנו בכל זאת נשאר עם ההגדרה המקורית של כיווני הייחוס. 9

18 תורת המעגלים החשמליים מבוא והגדרות נתבונן בשני לוחות ששורר ביניהם ריק. בין דוגמא #: על-מנת להבין את ההיגיון שמאחורי בחירה זו של כיווני ייחוס הלוחות מאולץ פוטנציאל המתנהג במרחב כמתואר באיור.7 נפלטים מאחד מהלוחות ונעים בהשפעת הפוטנציאל הנתון. הימני. נתאר את תנועת האלקטרונים אשר שטח הלוח איור.7: תנועת אלקטרונים בהשפעת פוטנציאל חשמלי הפוטנציאל בין הלוחות נתון על-ידי: x φ ( < x< h) = V h ולכן השדה החשמלי הינו φ V Ex ( ) = = x h אלקטרון חופשי (מטען שלילי) נמשך ללוח העליון. משוואת התנועה של אלקטרון השני של ניוטון) (.5) (.6) זה מתוארות על-ידי (החוק

19 תורת המעגלים החשמליים מבוא והגדרות (.7) d x m = F = ee( x) = dt ev h אשר פתרונה מוביל להעתק כתלות בזמן (.8) (.9) (.) xt () = ev t mh ומכאן מהירות האלקטרון ev ut () = t mh לפיכך הזרם ev I() t = ( enu) A= ena t mh התואם את כיווני הייחוס כפי שהוגדרו לעיל.

20 תורת המעגלים החשמליים מבוא והגדרות.5 רכיבים ליניאריים אידיאליים משוואות מצב כמעט בכל מעגל חשמלי בסיסי אנו נתקלים ברכיבים הבסיסיים: במאפייני הרכיבים האלה ונעמוד על מאפייניהם. הליניאריים הבסיסיים. קבל א. - אוגר אנרגיה חשמלית במרחב נתון: נגד, קבל וסליל. בפרק נדון בהרחבה נציג כאן בקצרה את משוואות המצב עבור הרכיבים Q = CV ב. Q: כמות המטען האגורה בקבל. V: מפל המתח על הקבל. C: קיבול הקבל. סליל - אוגר אנרגיה מגנטית במרחב נתון: Φ = LI נגד ג. Φ: השטף המגנטי דרך הסליל. : I הזרם החשמלי הזורם דרך הסליל. L: השראות הסליל. - ממיר אנרגיה אלקטרומגנטית לחום במרחב נתון: V = RI V: מפל המתח על הנגד. : I הזרם הזורם דרך הנגד. : R התנגדות הנגד. הערה: באופן אידיאלי בחוטים לא מתבזבז הספק ולא אגורה כל אנרגיה אלקטרומגנטית.

21 תורת המעגלים החשמליים מבוא והגדרות Kirchoff s Current Law (KCL).6 חוק קירכהוף לזרמים בכל צומת במעגל חשמלי מקובץ, אפס: נתון, זמן בכל רגע הסכום האלגברי של הזרמים היוצאים מהצומת, הוא (.) איור.8: זרמים נכנסים ויוצאים מצומת m k= I k = לחילופין, ניתן לומר כי סכום הזרמים הנכנסים שווה לסכום הזרמים היוצאים. כלומר, בצומת במעגל חשמלי לא נאגר מטען. למעשה חוק זה נובע ישירות מחוק שימור המטען. הערות: א. KCL מהווה אילוץ לינארי על הזרמים במעגל. ב. KCL אינו תלוי באופי הרכיבים במעגל (ליניאריים או לא, תלויי זמן או לא). ג. KCL אינו תקף במערכות לא מקובצות, כגון אנטנה. נזכור שהמושגים מתח וזרם במובן הנוכחי הוגדרו רק עבור רכיבים במעגלים מקובצים. ד. KCL מסתמך על חוק שימור המטען, ועל-כך שבחוטים ובפרט בצמתים לא נאגר כל מטען. משוואת הרציפות: 3

22 תורת המעגלים החשמליים מבוא והגדרות (.) (.3) ρ J + = t ρ dv( J + ) = t V נבצע אינטגרציה על הנפח V סביב הצומת J da d v J da + ρ = + Q = J da = t t (.4) A V A A J (.5) da = A כעת, לפי משפט גאוס נקבל כלומר וזה ניסוח מוכלל לביטוי ב- (.). איבר זה מתאפס מכיוון שלא נאגר מטען בחוטים 4

23 תורת המעגלים החשמליים מבוא והגדרות Kirchoff s Voltage Law (KVL) -.7 חוק קירכהוף למתחים בכל לולאה סגורה במעגל חשמלי מקובץ, בלולאה, הוא אפס לפי המעגל שבאיור בכיוון השעון נקבל נתון, זמן בכל רגע הסכום האלגברי של המתחים לאורך כל ענף (.6) 5 V = k k.9, אם נפעיל את החוק על הלולאה החיצונית, (.7) V+ V V3+ V4 = כמו-כן היינו יכולים להפעיל את החוק על כל לולאה בתרשים. הערות: א. ב. ג. ד. KVL מהווה אילוץ לינארי על המתחים במעגל. סגורה אחרת KVL אינו תלוי באופי הרכיבים במעגל (ליניאריים או לא, תלויי זמן או לא). KVL אינו תקף במערכת שאינה מקובצת. KVL נגזר מחוק פרדיי (.8) B E = t איור.9: דוגמא ליישום חוק קריכהוף למתחים

24 תורת המעגלים החשמליים נבצע אינטגרציה על המשטח שמגדירה לולאה סגורה במעגל כמתואר באיור.. מבוא והגדרות (.9) המגנטית (.3) (.3) A E da = B da t ( ) A רק לקראת סוף הקורס נדון במעגלים בהם להשראות באזורים שונים יש חשיבות. כרגע כדאי לשים לב שאם יש השראות מגנטית נוצר כא"מ בלולאה וניתן להתחשב בכך כמקור נוסף. במקרה בו אין שטף מגנטי בשטח הלולאה, האיבר הימני ב- (.9), מתאפס. איור.: משטח אינטגרציה למעשה הוא מתאפס באחד משלוש המקרים הבאים: B da (3 ; B = B = Const ( ; B ( A ( E) da = E d = C r φ () r = E d r וכעת, לפי משפט סטוקס, מתקיים נזכר בהגדרה של פוטנציאל חשמלי סקלרי כאשר r נקודת ייחוס, ולכן הביטוי ב- (.3) שקול ל- (.6). 6

25 תורת המעגלים החשמליים מבוא והגדרות.8 תרגיל מסכם - יישום חוקי קירכהוף נתון המעגל החשמלי המתואר באיור.. מטרת התרגיל היא להדגים את הפעלת חוקי קירכהוף בצמתים ובלולאות השונות. נקבע באופן שרירותי את כיווני הזרמים בענפים השונים ובהתאם להגדרת כיווני הייחוס נקבע את קוטביות המתחים. A B C D איור.: מעגל דוגמא ליישום חוקי קירכהוף 7

26 תורת המעגלים החשמליים מבוא והגדרות A C D B (.3) (+), ולפני כזה נפעיל את KCL בצמתים של המעגל הנתון: A: I + I I = 5 B: I I + I = 3 6 C: I + I + I = 3 4 D: I + I I = נשים לב כי לפני זרם היוצא מהצומת יש סימן חיובי שהנכנס אליו יש סימן שלילי (-) ברור שגם בחירה זו היא שרירותית וניתן היה לבחור זאת הפוך, דבר ששקול להכפלת המשוואה ב-. כאמור חייבים להיות עקביים בהגדרה. (.33) ABCA : V + V + V = 3 BDCB : V + V V = ACDA: V V V = 4 5 ABDCA : V V + V + V = 6 4 נפעיל את KVL בכמה לולאות במעגל הנתון: ניתן להגדיר את הכיוון "החיובי" לאורך הלולאה עם כיוון השעון, או נגדו. אשר מתלכד עם כיוון השעון. בדרך כלל נהוג לבחור את הכיוון 8

27 תורת המעגלים החשמליים מבוא והגדרות.9 שיקולי סימטריה נתון המעגל החשמלי אשר מתואר באיור.. יש לפתור את המעגל. מה משמעות פתרון המעגל? בכל ענף במעגל, למצוא את הזרם הזורם דרכו ואת המתח השורר על-פניו. דבר ראשון שעלינו לעשות הוא לסמן כיווני ייחוס, באופן שרירותי כמתואר באיור.3: איור.: מעגל התנגדותי פשוט A B C D 9 איור.3: כיווני ייחוס במעגל התנגדותי פשוט

28 תורת המעגלים החשמליים מבוא והגדרות A C D B (.34) [ D: I I I = ] A: I+ I + I6 = B: I I3+ I5 = C: I + I + I = 3 4 כדאי לשים לב שהמשוואה הרביעית מתקבלת משלושת המשוואות הראשונות( A B C ). D = מסקנה: אין צורך להפעיל את KCL על כל הצמתים נקראת צומת הייחוס (היא נבחרת לרוב כ"אדמה"). - במקרה זה צומת KCL D KVL (.35) ACDA: V V V = V = IR+ IR CBDC: V V V = I R I R I R= ABCA : V V + V = I R I R + I R = 3 3. I, I, I3, I4, I5, משני חוקי קירכהוף קבלנו מערכת של 6 משוואות עבור ששת הנעלמים I6 הערה: אמנם ניתן לפתור את מערכת המשוואות, סימטריה במעגל כפי שמובהר להלן. אך במקרה פרטי זה ניתן לפתור בהסתמך על שיקולי

29 תורת המעגלים החשמליים א. מקור המתח "רואה" שני ענפים סימטריים לכן בערכם המוחלט הפוטנציאל ב- מבוא והגדרות A וב- D שווה. V משמעות טענה זו הינה: (.36) V V = V4 = V I = I4 = R (.37) A C. I = I = 5 V R ומכאן ש = 3.V +V V = לכן, כמו בסעיף א', V5 I 3 = ב.מאחר ו- 4 אזי I דבר הגורר ה. מסקנה: ההתנגדות השקולה שרואה הסוללה "המקור" היא R. B ו. (לימוד עצמי) לבחון את המקרים הבאים: I = = I 5 I ג. יתר על-כן, ד.על-סמך החישובים הנ"ל, אפשר לחשב את הזרם אשר זורם בסוללה. על-סמך KCL בצומת A V V V I+ I + I6 = I6 = = R R R R 3 = R3 R = R = α R & R = R = βr α, β 4 5 D

30 תורת המעגליםהחשמליים רכיבי המעגל החשמלי הפרק השני - רכיבי המעגל החשמלי. מיון רכיבים במעגל חשמלי הרכיבים במעגל החשמלי ניתנים לחלוקה באופן כללי לשתי קבוצות רכיבים פסיביים ורכיבים אקטיביים. הרכיבים האקטיביים מספקים אנרגיה למעגל ועשויים להיות מקורות, או מגברים. הרכיבים הפסיביים מתחלקים גם הם לשתי קבוצות: לכאלה הצורכים אנרגיה כמו למשל הנגד, ולכאלה שאוגרים אנרגיה (רכיבים ריאקטיביים) כמו הסליל והקבל. לכל רכיב פסיבי יכול להיות שילוב כלשהו מהתכונות: א. רכיב תלוי זמן, או לא. ב. רכיב לינארי, או לא. אם ניקח כדוגמא נגד, הזרם הזורם דרכו לבין המתח השורר על-פניו. הרי שעל-מנת להגדיר את טיבו וצורת התנהגותו, עלינו להגדיר את הקשר בין

31 תורת המעגליםהחשמליים רכיבי המעגל החשמלי נגד. הנגד הוא דוגמא לרכיב פסיבי הצורך אנרגיה והופך אותה לחום. נגדיר את הנגד על-ידי הקשר בין המתח החשמלי על-פניו לזרם החשמלי הזורם דרכו. באופן הכללי ביותר: כאשר נשרטט מעגל חשמלי, סימונו של הנגד במעגל יהיה: (.) Vt () = f[ It (), t] איור.: תיאור סכמטי של נגד המקרה הראשון בו נדון הוא הנגד הפשוט ביותר הנגד הליניארי הקבוע בזמן... נגד ליניארי קבוע בזמן: במקרה זה, (.) מצטמצם ל- (.) Vt () = RIt () כאשר ל- R אנו קוראים ההתנגדות המאפיינת את הנגד. לחילופין ניתן לרשום: (.3) It () = Vt () GVt () R 3

32 רכיבי המעגל החשמלי תורת המעגליםהחשמליים ול- G אנו קוראים מוליכות. החוק הנ"ל, המאפיין את הנגד הליניארי והקבוע בזמן הוא חוק אוהם. ועל שמו של אוהם נקראות יחידות ההתנגדות: Volt Ampere Ampere - ohm - mho Volt (.4) [ R] = =Ω [ G] = =Ω הקשר בין המתח השורר על-פני נגד זה לבין הזרם הזורם דרכו, הוא קשר לינארי כאשר השיפוע הוא קבוע בזמן. ניתן לתאר את הנגד על-ידי עקום במישור,I-V עקום זה ייקרא אופיין מתח-זרם של הרכיב. האופיין המתאר את הקשר (.): שיפוע איור.: אופיין מתח-זרם של נגד לינארי באמצעות נגד זה נוכל להגדיר שני מושגים חשובים נוספים בתורת המעגלים החשמליים: א. נתק במצב של נתק, לכל מתח השורר על-פניו, הזרם דרכו הוא אפס. האופיין המתאים הינו: 4

33 תורת המעגליםהחשמליים רכיבי המעגל החשמלי (.5) V I = ; I R R V < כפי שניתן לראות, הנתק שקול לנגד עם התנגדות אינסופית. איור.3: אופיין מתח-זרם עבור נתק ב. קצר במצב של קצר, לכל זרם הזורם דרכו, המתח השורר על-פניו הוא אפס. האופיין המתאים הינו: כפי שניתן לראות, הקצר שקול לנגד עם התנגדות אפס. איור.4: אופיין מתח-זרם עבור קצר נגד לינארי תלוי זמן.. במידה והנגד הלנארי תלוי בזמן, (.) הופך להיות: (.6) Vt () = Rt () It () כלומר קשר לינארי עם שיפוע שאינו קבוע בזמן. ניתן לתאר נגד כזה למשל על-ידי הסכמה: 5

34 תורת המעגליםהחשמליים רכיבי המעגל החשמלי איור.5: סכמה של נגד לינארי תלוי זמן (.7) R() t = R+ Rf() t ואז יתקיים: (.8) דוגמא #: נגד לינארי פשוט משתנה בזמן יהי נתון הנגד המשתנה הרמונית בזמן לפי הקשר הבא: R() t = R + R cos ( ωt) נציב את הרכיב הנ"ל במעגל שבאיור.6, ונחפש את הזרם הזורם דרכו: (.9) I R () t VR () t VS () t V = = = Rt () KVL Rt () R + R cos ( ωt) OHM איור.6: מעגל חשמלי פשוט המכיל נגד לינארי משתנה בזמן 6

35 תורת המעגליםהחשמליים דוגמא #: התנגדות כפונקציה של הטמפרטורה רכיבי המעגל החשמלי התנגדות המשתנה עם הטמפרטורה הוא מודל מציאותי מכיוון שכאשר זורם זרם דרך הנגדים לאורך זמן, אלה מתחממים והתנגדותם לא נותרת קבועה, ויש צורך להתחשב בזה. נזכור שהטמפרטורה הינה פונקציה של הזמן ועל-כן: (.) R( t) = R + α T( t) α r איור.7: מעגל חשמלי פשוט המכיל התנגדות תלויה בטמפרטורה (.) Vout () t = V () t = I() t r R! במילים אחרות 7 נציב רכיב זה במעגל שבאיור.7 ונחפש את מתח היציאה: KVL V() t + V() t V (.) It () = = OHM r+ R() t KVL r+ R() t ולכן: OHM r r (.3) Vout () t = r I() t = V = V r+ R() t r+ R + αt() t נשים לב שהמתח על-פני הנגד r, תלוי בשינויים הזמניים ובטמפרטורה של הנגד במעגל הזה שינויי טמפרטורה מתורגמים לשינויי מתח.

36 תורת המעגליםהחשמליים רכיבי המעגל החשמלי..3 נגד לא ליניארי נגד לא לינארי, מאופיין על-ידי עקום מתח-זרם לא לינארי, לדוגמא: קצר נתק איור.8: אופיין מתח-זרם של נגד לא לינארי, מתג אלקטרוני אידיאלי תרשים זה מייצג מתג אלקטרוני אידיאלי. עבור מתחים חיוביים, הרכיב מהווה קצר וכל זרם יכול לזרום דרכו, ועבור מתחים שליליים, נתק (מודל אידאלי של דיודת מל"מ מוליכים למחצה). דוגמא אחרת לנגד לא ליניארי, הוא מתג לא אידיאלי. מתג כזה מתאפיין בכך שעבור מתח שלילי קיים איזשהו זרם ("זרם זליגה"). עבור מתח חיובי, המתח הנופל על-פני המתג אינו שווה לאפס זהותית. נתייחס לסכמה המתוארת באיור.9. איור.9: סכמה מתג לא אידיאלי 8

37 תורת המעגליםהחשמליים כאשר ידוע: רכיבי המעגל החשמלי (.4) R R כאשר המתג סגור (נאמר עבור ממתחים חיוביים על המתג), הזרם דרך ההתקן הינו: V (.5) I = R כאשר המתג פתוח (נאמר עבור ממתחים שליליים על המתג), הזרם דרך ההתקן הינו: והאופיין המתאים הינו: (.6) I V V = R + R R איור.: אופיין מתח-זרם של מתג לא אידיאלי 9

38 תורת המעגליםהחשמליים דוגמא נוספת היא דיודת מוליך למחצה (מל"מ) מעשית. משוואת אופיין הדיודה הינה: I כאשר רכיבי המעגל החשמלי (.7) exp V I I V = הינו קבוע התלוי במאפייני הדיודה, והוא יכול להיות מסדר גודל של כמה מילי-אמפרים, מיקרו-אמפרים או ננו-אמפרים ו- V הוא קבוע הנתון בביטוי הבא: (.8) kt B V = =.6 Volt e סימון הדיודה במעגל וציור האופין מובאים באיור. להלן: 3 K טמפ' החדר איור.: סימון ואופיין מתח-זרם של דיודת מל"מ מעשית תכונות נוספות לגבי הדיודה, תדון בהרחבה בקורסים על מוליכים למחצה. 3

39 תורת המעגליםהחשמליים דוגמא נוספת ואחרונה היא דיודת ואקום המתוארת באיור רכיבי המעגל החשמלי.. משוואתהאופין שלה: (.9) 3 I = β V למעשה, הדיודה דומה לנגד שההתנגדות שלו תלויה במתח שעל-פניו: (.) איור :. G = G( V) = β V I = G( V) V ולכן רכיב זה בהחלט לא מקיים קשר ליניארי בין הזרם דרכו למפל המתח על-פניו. דיודת ואקום..4 הכללה ריבוי הדקים: בדומה לנגד הפשוט שהכרנו עד כה, דהיינו, נגד עם שני הדקים ומאופיין על-ידי מתח אחד וזרם אחד, נגדיר נגד מוכלל המכיל יותר הדקים ומאופיין על-ידי אוסף מתחים וזרמים. דוגמא אופיינית לנגד מרובה הדקים מובאת באיור.3. גוש מתכתי איור.3: גוש מתכתי נגד מרובה הדקים 3

40 תורת המעגליםהחשמליים הנגד הנ"ל מוגדר על-ידי הקשר הלינארי-מטריצי הבא: רכיבי המעגל החשמלי (.) V R R.. Rn I V R R.. R n I = V R R.. R I n n n nn n בצורה מפורשת המדידה של כל רכיב במטריצה נעשית על-ידי הקשר הבא: (.) (.3) 3 R ij Vi = I j I k j = V R R I V = R R I (.4) V = RI (.5) V = RI לדוגמא, עבור המקרה הדו-מימדי מתקיים: בהנחה ש- = I ונקבל: שזה מה שאנו מכירים כבר, אך נקבל גם: תופעה זו נקראת "צימוד". הגוש המתכתי הוא זה שמצמד בין ההדקים השונים. כלומר זרם דרך ההדק הראשון גורם למתח לשרור על-פני ההדק השני.

41 תורת המעגליםהחשמליים הערה: מטריצת הצימוד היא בדרך כלל סימטרית, דהיינו במקרה הדו ממדי מתקיים: רכיבי המעגל החשמלי (.6) R = R או באופן כללי: (.7) Rij = R ji 33

42 תורת המעגליםהחשמליים רכיבי המעגל החשמלי קבל.3 קבל הינו רכיב פסיבי נוסף, או למעשה ראקטיבי אשר אנרגיה חשמלית. סימונו בנפחו נאגרת המקובל במעגל החשמלי נתון באיור הקבל מקיים קשר ליניארי בין המתח על-פניו לבין המטען האגור בו (על-פני לוחותיו): (.8) Q = CV Farad או בקיצור F. על-מנת לאפיין את הקבל כאשר מקדם הקשר C, הינו הקיבול ביחידות של כרכיב במעגל חשמלי, עלינו למצוא את הקשר בין המתח השורר על-פניו לבין הזרם הזורם דרכו. נזכר בהגדרה: (.9) dq I = dt ונקבל את הקשר הדיפרנציאלי הבא: (.3) d d dv dc I = Q = ( CV) = C + V dt dt dt dt עבור קבל פשוט בו הקיבול קבוע בזמן, נקבל את הקשר: (.3) dvc IC = C = CV C dt או לחילופין, על-ידי אינטגרציה של (.3), נקבל: איור.4: תיאור סכמטי של קבל

43 תורת המעגליםהחשמליים רכיבי המעגל החשמלי (.3) t V () t = I (') t dt' C C C (.33) או אם ידוע תנאי התחלה של המתח על הקבל, למשל ב- = t, אז (.3) הופכת להיות: t V () t = V () + I (') t dt' C C C C בפרט, עבור זרם הנתון על-ידי פונקצית דלתה של דירק (הלם) קרי (.34) IC( t) = q δ ( t t ) (.35) VC() t = VC() + dtq δ t t C = VC () t< t q VC () + t t C t ( ) אזי מסקנה: עירור של פונקצית דלתה (הלם) משנה את תנאי ההתחלה. 35

44 תורת המעגליםהחשמליים רכיבי המעגל החשמלי (.37) (.38) 36 δ (.36) תיאור איכותי של פונקציית דלתה של דירק (הלם) מובא באיור --.5 הגדרה ודיון מעמיק יותר יינתנו במסגרת המקצוע "אותות ומערכות" t < δ () t t ε ε t > ε איור.5: תאור איכותי של פונקצית דלתא ולהלן כמה מתכונותיה duδ( u u ) f( u) = f( u ) duδ( u u ) = u u f ( u) δ f( u) = ; f( u ) = ; f '( u ) u δ ( au u ) = δ u a a הערה: מתוך התכונה האחרונה נקל לראות שהיחידות של פונקצית דלתא הן הפוכות ליחידות של הארגומנט [ () t ] [] t δ = = [sec]

45 תורת המעגליםהחשמליים בדומה להגדרת הנגד מרובה ההדקים, ניתן להגדיר קבל מורכב עם n זוגות הדקים: (.39) q = C V המשוואה לעיל הינה משוואה וקטורית. בצורה הבאה: ניתן לרשום אותה גם קבל מורכב רכיבי המעגל החשמלי איור.6: קבל מורכב מרובה הדקים (.4) dv I = C dt (.4) כאשר הסימונים לעיל מתייחסים ל: q I V C C.. Cn q I V d C C.. C n q I = = = q V = C =.... dt q I V C C.. C n n n n n nn כמו שראינו עבור נגד מרובה הדקים, גם בקבל המורכב נקבל תופעות צימוד. נקראת צימוד קיבולי. לגבי תופעה זו נרחיבבפרק התשיעי. עבור קבל, תופעה זו 37

46 תורת המעגליםהחשמליים רכיבי המעגל החשמלי סליל.4 רכיב ראקטיבי נוסף הינו המשרן, מגנטית במרחב נתון. הסליל. או הסליל אוגר סימונו במעגל חשמלי נתון בשרטוט. אנרגיה הסליל מקיים קשר ליניארי בין הזרם הזורם דרכו לבין השטף המגנטי דרכו: (.4) Φ = LI כאשר מקדם הקשר L, הינו ההשראות העצמית של הסליל, והוא נמדד ביחידות.Henry על-מנת לאפיין את הסליל כרכיב במעגל חשמלי, עלינו למצוא את הקשר בין המתח השורר על-פניו לבין הזרם הזורם דרכו. נזכר בחוק פרדיי: (.43) dφ V = dt ונקבל את הקשר הדיפרנציאלי הבא: (.44) d d di dl V = Φ = ( LI) = L + I dt dt dt dt במידה ומדובר בסליל פשוט עבורו ההשראות קבועה בזמן, נקבל את הקשר הבא המגדיר סליל פשוט: (.45) dil VL = L = LI L dt או לחילופין, על-ידי אינטגרציה של (.45), נקבל: איור.7: תיאור סכמטי של סליל 38

47 תורת המעגליםהחשמליים רכיבי המעגל החשמלי (.46) t I () t = V (') t dt' L L L או אם ידוע תנאי ההתחלה של הזרם בסליל, למשל ב- = t, אז (.46) הופכת להיות: (.47) (.48) (.49) t I () t = I () + V (') t dt' L L L L במידה והמתח הוא פונקצית דלתה של דירק (הלם) קרי ( ) VL () t =Φ δ t t IL() t = IL() + dt Φ δ t t L IL() t< t = Φ I () L + t t L t ( ) אזי מסקנה: עירור של פונקצית דלתה (הלם) משנה את תנאי ההתחלה. 39

48 תורת המעגליםהחשמליים משרן מורכב רכיבי המעגל החשמלי איור.8: משרן מורכב מרובה הדקים גם כאן ניתן להגדיר סליל מורכב עם n זוגות הדקים: (.5) Φ = L I המשוואה לעיל הינה משוואה וקטורית. ניתן לרשום אותה גם בצורה: di (.5) V = L dt (.5) כאשר הסימונים לעיל מתייחסים ל: Φ V I L L.. Ln Φ V d I L L.. L n Φ= V = = Φ I = L=.... dt Φ V I L L.. L n n n n n nn גם כאן יהיו תופעות צימוד. הצימוד ההשראותי ידון בהרחבה בפרק התשיעי. 4

49 תורת המעגליםהחשמליים רכיבי המעגל החשמלי.5 שיקולי הספק ואנרגיה ברכיבים פסיביים בפרק הראשון הגדרנו את הזרם כקצב השינוי הזמני של כמות המטען, דהיינו: (.53) I (.54) V (.55) P 4 Q = t ואילו את המתח הגדרנו כאנרגיה ליחידת מטען, קרי: W Q ההספק מוגדר כקצב השינוי הזמני של האנרגיה, כלומר: W W Q = = VI t Q t לכן, נגדיר את ההספק הרגעי של רכיב במעגל חשמלי בתור המכפלה בין מפל המתח השורר על-פניו לבין הזרם הזורם דרכו, ברגע נתון. כלומר: (.56) Pt () = V() t It () כבר ראינו בפרק הראשון שהגודל P כפוף לכיווני הייחוס שבחרנו, מקבל ערכים חיוביים עבור רכיבים הצורכים אנרגיה, וערכים שליליים עבור רכיבים המספקים אנרגיה למעגל החשמלי. יחידות הספק: Joule Coulomb Joule Coulomb sec sec (.57) [ P] = Volt Ampere = = Watt.

50 תורת המעגליםהחשמליים סך כל האנרגיה שרכיב מסוים צורך או מספק למעגל בקטע הזמן ) t ), t, הינו: רכיבי המעגל החשמלי (.58) Wt t = Pt dt (, ) ( ') ' t t נבחן עתה את ההספק/אנרגיה ברכיבים שהספקנו להכיר עד-כה: (.59) R R R OHM R P () t = V () t I () t = RI () t א. נגד: כלומר ההספק הרגעי של נגד (שהתנגדותו חיובית) תמיד חיובי, כלומר הוא תמיד אותה לאנרגית חום. צורך אנרגיה, והופך ב. קבל: (.6) (.6) 4 t t V () t C dv V () t C C C(, ) = C( ') C( ') ' = C ' = C C = C () dt ' () V C V W t V t I t dt C V dt C V dv CV = C VC ( t) VC () WC() t = CVC () t C בפרט, אם ב = t המתח על הקבל הוא אפס נקבל:

51 תורת המעגליםהחשמליים ג. סליל: רכיבי המעגל החשמלי (.6) (.63) t t I () t L di I () t L L L(, ) = L( ') L( ') ' = L ' = L L = L () dt ' () I L I W t V t I t dt L I dt L I di LI = L IL ( t) IL () WL() t = LIL () t L ושוב, אם ב = t הזרם בסליל הוא אפס נקבל: 43

52 תורת המעגליםהחשמליים רכיבי המעגל החשמלי.6 מקורות בלתי תלויים עד כה, דנו ברכיבים אשר צורכים או אוגרים אנרגיה חשמלית/מגנטית. בסעיף זה, נדון בתיאור הסוגים השונים של מקורות אשר מספקים אנרגיה חשמלית במעגלים החשמליים הפשוטים שנכיר במהלך הקורס. תחילה, נכיר את משפחת המקורות הבלתי-תלויים להבדיל ממקורות מבוקרים (תלויים) בהם נדון בהמשך. א. מקור מתח בלתי-תלוי אידיאלי: זהו רכיב, שעבור כל זרם שזורם דרכו, המתח השורר על-פניו הוא המתח בלתי-תלוי, וסימונו במעגל החשמלי נתונים באיור.9 להלן: נתון וקבוע. האופיין של מקור איור.9: מקור מתח בלתי תלוי סימון ואופיין מתח-זרם נזכור שלפי כיווני הייחוס שבחרנו, ההספק של רכיב כזה הוא שלילי. היינו יכולים להגדיר את הכיוונים הפוך, על-מנת שכביכול הספק המקור יהיה חיובי. שרירותית אך חייבת להיות עקבית. חשוב לזכור, שהגדרת הכיוונים הייתה 44

53 תורת המעגליםהחשמליים ב. מקור זרם בלתי-תלוי אידיאלי: רכיבי המעגל החשמלי באופן דומה, ניתן להגדיר רכיב שעבור כל מתח השורר על-פניו, הזרם שזורם דרכו הוא קבוע. האופיין של מקור זרם בלתי-תלוי וסימונו במעגל החשמלי נתונים באיור. להלן: איור.: מקור זרם בלתי תלוי סימון ואופיין מתח-זרם ג. מקור מתח בלתי-תלוי מעשי (לא אידיאלי): נתבונן בסכמה המתוארת באיור., וננתח את הרכיב, כלומר נחפש את הקשר בין המתח השורר על פניו לבין הזרם הזורם דרכו: (.64) V = VR + VS = RIR + VS = RI + VS KVL OHM KCL איור.: סכמה של מקור מתח בלתי תלוי מעשי 45

54 תורת המעגליםהחשמליים האופיין המתאים לרכיב זה הינו: רכיבי המעגל החשמלי איור.: אופיין מתח-זרם של מקור מתח בלתי-תלוי מעשי ד. מקור זרם לא-תלוי שאינו אידיאלי: נתבונן בסכמה המתוארת באיור.3, וננתח את הרכיב: (.65) I = I I = G V I = G V I V = R I + R I R S R S S S KCL OHM KVL איור.3: סכמה של מקור זרם בלתי תלוי מעשי נראה כעת את השקילות בין מקור מתח בלתי תלוי מעשי למקור זרם בלתי תלוי מעשי. 46

55 תורת המעגליםהחשמליים ה. שקילות של מקורות (מעגלים שקולים לפי תבנין ונורטון) הראנו כבר, שלמקור מתח לא אידיאלי משוואת האופיין : ואילו עבור מקור זרם לא אידיאלי מתקיים: לפיכך, אם נבחר רכיבי המעגל החשמלי (.66) V = RI + VS (.67) (.68) V = RI + RI S V S = RI S נקבל שמשוואת אופיין מקור זרם מעשי מתלכדת עם משוואת אופיין מקור מתח מעשי בעוצמה הנתונה ב- (.68). נסכם זאת באיור.4 להלן: איור.4: שקילות של מקורות מתח וזרם מעדיים המעגל מימין ייקרא שקול נורטון בעוד המעגל משמאל ייקרא שקול תבנין של המקור לא-אידיאלי. 47

56 תורת המעגליםהחשמליים רכיבי המעגל החשמלי.7 מקורות מבוקרים כאשר רצינו לספק אנרגיה למעגל חשמלי, השתמשנו עד כה במקורות בלתי תלויים. ישנה דרך נוספת לספק אנרגיה למעגל מקורות מבוקרים. מקור מבוקר הינו מקור "המספק" זרם או מתח שהוא יחסי לזרם או מתח במקום אחר במעגל. את המקורות המבוקרים אנו מחלקים לארבעה סוגים כמתואר באיור.5: א. מקור מתח מבוקר מתח ב. מקור מתח מבוקר זרם חסר מימדים ג. מקור זרם מבוקר מתח: מימדי התנגדות ד. מקור זרם מבוקר זרם: 48 מימדי מוליכות איור.6: מקורות מתח/זרם מבוקרי מתח/זרם חסר מימדים

57 תורת המעגליםהחשמליים דוגמא: רכיבי המעגל החשמלי באיור.7 מתוארים שני מעגלים. המעגל השמאלי מעורר על-ידי מקור בלתי תלוי בעוד הימני מעורר על-ידי מקור מתח המבוקר על-ידי אחד המתחים במעגל השמאלי. אנו מחפשים את המתח על העומס במעגל הימני. איור.7: מעגל חשמלי המכיל מקור מתח מבוקר מתח נפתור את המעגל כאילו המקור המבוקר היה מקור בלתי תלוי. לפנינו למעשה שני מחלקי מתח ולכן במעגל השמאלי: באופן דומה, במעגל הימני מתקיים: R (.69) V = R + R RL µ RLR (.7) VL = µ V = V R + R ( R + R )( R + R ) L S L S V S S 49

58 תורת המעגליםהחשמליים הערה: במקורות מבוקרים, לא מתקיים שימור אנרגיה. במערכת נתון על-ידי אפס לכן, הספק הכניסה הוא אפס, והספק היציאה שונה מאפס. רכיבי המעגל החשמלי כלומר, הסיבה לכך היא שרכיבים אלה מקבלים הספק ממקור חיצוני. P = VI + VI. P= V I אולם לפי הגדרה לכאורה ההספק הזרם או המתח בכניסה למקור מבוקר הם 5

59 תורת המעגלים החשמליים משפטי רשת הפרק השלישי - משפטי רשת בפרק זה נציג כמה משפטי רשת חשובים וחיוניים לניתוח מעגלים חשמליים. ראשית, נציג את משפט ההרכבה (סופרפוזיציה) אשר מהווה כלי חזק בניתוח מעגלים חשמליים ליניאריים הניזונים מכמה מקורות מתח או זרם בו זמנית. לאחר מכן, נציג את משפט ההצבה, ככלי עזר לפישוט הצגת מעגל חשמלי מורכב. בסעיף 3.3 מוצג משפט תבנין-נורטון. לפי משפט זה, ניתן לאפיין מעגלים מורכבים באמצעות מעגל פשוט המכיל מקור ו"נגד" שקולים בלבד. לבסוף, אנו נציג את משפט ההדדיות אשר מנצל את הסימטריה של רשתות חשמליות פסיביות. משפטי הרשת אשר נציג בפרק זה, יהוו בסיס חשוב לפתרון כל מעגל חשמלי בעתיד. בסעיפים הבאים, אנו נציג כל אחד מהמשפטים הנ"ל ונציין באילו תנאים הוא תקף ונציג כמה דוגמאות פשוטות לשימוש במשפטי הרשת. 5

60 תורת המעגלים החשמליים משפטי רשת (Superposition Theorem) 3. משפט הסופרפוזיציה הגדרה: במערכת ליניארית, כאשר כל תנאי ההתחלה אפס, סה"כ התגובה ל- M מקורות זרם או מתח בלתי תלויים שווה לסכום האלגברי של התגובות (לתנאי התחלה אפס) לכל מקור בנפרד. x y = A x y = A x + x + x = y + y + y 3 x 3 () () (3) הבהרות א. בחישוב התגובה לכל מקור בנפרד יש לאפס (לנטרל) את כל המקורות הבלתי תלויים האחרים. כלומר, להחליף כל מקור מתח בלתי תלוי בקצר (עליו שורר מתח אפס) וכל מקור זרם בלתי תלוי בנתק (דרכו זורם זרם אפס). ב. כאשר הרשת כוללת רכיבים בעלי "זיכרון" (קבלים, סלילים), עקרון הסופרפוזיציה מופעל בהנחה שתנאי התחלה אפס. אם זה אינו המצב, זאת אומרת, כאשר למעגל נתון יש מקורות ותנאי התחלה שונים מאפס מחלקים את התגובה לשניים: התגובה ל"זיכרון", כלומר לתנאי ההתחלה והתגובה למקורות כפי שנראה בעתיד. ג. אין להפעיל את משפט הסופרפוזיציה עבורמקורות תלויים. 5

61 תורת המעגלים החשמליים ד. דוגמא: נתון מעגל חשמלי כמתואר באיור Vבמצב C מתמיד נשתמש במשפט עם מקורות זרם.3. נרצה לחשב ומתח קבועים בזמן את תגובת המעגל, (לאחר שכל תופעות המעבר דעכו). הסופרפוזיציה, מקור בנפרד, ולבסוף נסכם את כל התגובות. א. תגובת המעגל למקור המתח V: S ונחשב את התגובה לכל נאפס את מקור הזרם נחליף אותו בנתק משפטי רשת איור 3.: קבל פשוט המוזן משני מקורות בלתי תלויים = S, I כפי שניתן לראות באיור :3. איור 3.: שלב א' איפוס מקור הזרם מכיוון שמקור המתח קבוע בזמן, הפתרון במצב מתמיד במעגל הינו קבוע בזמן, כלומר: d VC (3.), = dt אם ניזכר בהגדרת הקבל (הקשר בין המתח על פניו לזרם דרכו): 53

62 תורת המעגלים החשמליים משפטי רשת (3.) dv C, IC, = C dt נבין שבמעגלי זרם ישר, במצב מתמיד, הזרם דרך קבל הינו אפס. כך גם בדוגמא שלנו. כעת, לפי (3.3) I, = I, = (3.4) V, = RI, = R R C R :KCL ולכן, כעת התגובה של המעגל למקור המתח בנפרד ברורה. לפי KVL מתקיים: (3.5) VC, = VS, + VR, = VS, = S V, כפי שניתן לראות באיור 3.3: ב. תגובת המעגל למקור הזרם : I S נאפס את מקור המתח נחליפו בקצר 54 איור 3.3: שלב ב' איפוס מקור המתח

63 תורת המעגלים החשמליים גם כאן הפתרון במצב מתמיד הוא כזה בו אין זרם דרך הקבל. משפטי רשת (3.6) ( ) (3.7) V = V = RI = R I I = RI C, R, R, S, C, S, KVL OHM KCL כעת על סמך משפט הסופרפוזיציה ניתן לקבל את הפתרון הכולל: V = V + RI C S, S, I = + I = I R S, S, 55

64 תורת המעגלים החשמליים משפטי רשת (Substitution Theorem) 3. משפט ההצבה משפט זה מאפשר להחליף ענף כלשהו ברשת בענף המכיל אך ורק מקור בלתי תלוי או מתח), מבלי שהדבר ישפיע על ערכי הזרם או המתח בשאר ענפי הרשת. אחד (מקור זרם ניסוח המשפט א. ב. נתונה רשת בעלת פתרון יחיד לכל הענפים. נניח שבענף מסוים מתקבל מתח V וזרם, I אזי אם: נחליף את האלמנט בענף במקור מתח בלתי תלוי אידיאלי בעל מתח V, או נחליף את האלמנט בענף במקור זרם בלתי תלוי אידיאלי בעל זרם, I ואם לרשת החדשה יש פתרון יחיד, אזי פתרון הרשת החדשה זהה לפתרון הרשת המקורית. הערות א. המשפט הנ"ל נכון עבור רשת כלשהי (ליניארית ולא-ליניארית) אך בלתי תלויה בזמן. ב. השימוש במשפט ההצבה כעזר לפתרון רשתות הינו מוגבל, כיוון וניסוח המשפט דורש ידיעה מראש של ערכי הזרם או המתח בענף המתאים. כלומר על המעגל להיות כבר "פתור" על-מנת להשתמש במשפט זה. אי לכך משפט ההצבה שימושי בעיקר ככלי עזר תיאורטי. 56

65 (Thevenin-Norton Equivalent Circuits Theorems) תורת המעגלים החשמליים משפטי רשת 3.3 משפטי תבנין-נורטון במגוון רחב של מקרים, צרכן מסוים מתחבר אל רשת חשמלית לינארית מורכבת. מנקודת ראות של הצרכן, המבנה הפנימי של הרשת אינו מעניין כל עוד הרשת מספקת את התנאים הנדרשים לצרכן, לפיכך קיים עניין באפיון הרשת בצורה פשוטה. משפט תבנין-נורטון מאפשר לתאר בצורה פשוטה כל רשת חשמלית לינארית באמצעות מקור מתח/זרם שקול ו"נגד" שקול. הצגה זו מאפשרת לנתח את הרשת הנדונה בעת התחברותה לעומסים שונים ללא כל צורך בפתרון של הרשת. להלן נתונה רשת בעלת הדקים חיצוניים (המאפשרים חיבור לעומס או לחלקי מעגל אחרים): הנחות: ב. ג. איור 3.4: רשת לינארית כללית א. הרשת ליניארית, כלומר מורכבת מרכיבים ליניאריים (העומס לא בהכרח לינארי). הרשת איננה כוללת מקורות מבוקרים התלויים בגדלים שמחוצה לה, וכן איננה משפיעה ישירות על מקורות מבוקרים שמחוצה לה. רשת לינארית, מסובכת, בעלת מקורות תלויים ובלתי תלויים, נגדים, קבלים וכו ' קיים פתרון יחיד כאשר מחברים מקור זרם או מתח בלתי תלוי בין הדקי הרשת. 57

66 תורת המעגלים החשמליים הגדרת המעגל השקול של תבנין באיור 3.5 מתואר שקול תבנין של רשת חשמלית לינארית נתונה: משפטי רשת רשת רשת נתונה שקול תבנין מעגל מקורי איור 3.5: שקול תבנין עבור רשת לינארית ערך מקור המתח והרשת החדשה מתקבלים מהרשת המקורית באופן הבא: א. V oc הוא המתח בין ההדקים כאשר ישנו נתק ביניהם (עומס לא מחובר) Circuit) (oc Open ב. N היא הרשת המתקבלת על-ידי איפוס כל המקורות הבלתי תלויים ברשת המקורית; מקורות מבוקרים נשארים ללא שינוי. ג. תנאי התחלה ב- N הם אפס. 58 הבהרות: שקול תבנין תקף גם לרשת הכוללת קבלים וסלילים. כאשר הרשת התנגדותית בלבד, הרי שניתן להחליף את הרשת N בהתנגדות שקולה שלה,R eq ומתקבלת הצורה הפשוטה של שקול תבנין המתוארת באיור 3.6 להלן: איור 3.6: שקול תבנין עבור רשת התנגדותית

67 תורת המעגלים החשמליים הגדרת המעגל השקול של נורטון משפטי רשת רשת רשת נתונה מעגל מקורי שקול נורטון איור 3.7: שקול נורטון עבור רשת לינארית ערך מקור הזרם והרשת החדשה מתקבלים מהרשת המקורית באופן הבא: א. I sc הוא הזרם בין ההדקים כאשר קיים קצר ביניהם (עומס מקוצר, (sc short circuit ב. N היא הרשת המתקבלת על-ידי איפוס כל המקורות הבלתי תלויים ברשת המקורית; מבוקרים נשארים ללא שינוי. ג. תנאי התחלה ב- N הם אפס. מקורות הבהרות: שקול נורטון תקף גם לרשת הכוללת קבלים וסלילים. כאשר הרשת התנגדותית בלבד, הרי שניתן להחליף את, Geq ומתקבלת הרשת N במוליכות שקולה = Req הצורה הפשוטה של שקול נורטון המתוארת באיור. 3.7 איור 3.7: שקול נורטון עבור רשת התנגדותית 59

68 תורת המעגלים החשמליים משפט תבנין-נורטון כל הרשתות שהוגדרו לעיל אופיין מתח-זרם זהה. (הרשת המקורית, שקול תבנין ושקול נורטון) הינן שקולות, משפטי רשת כלומר בעלות דוגמא #: משפט תבנין לפנינו מעגל חשמלי הכולל עומס שאינו בהכרח ליניארי, תבנין של הרשת הנתונה. רשת ורשת חשמלית ליניארית. יש לחשב את שקול עומס איור 3.8: רשת לינארית המחוברת לעומס לא לינארי מקור המתח השקול הינו המתח השורר בין ההדקים כאשר העומס מנותק. לפי מחלק מתח: (3.8) V E R OC = R + R 6

69 תורת המעגלים החשמליים כעת נעבור לחישוב ההתנגדות השקולה בין ההדקים, לצורך זה נאפס את מקורות המתח ונקבל את המעגל המתואר באיור 3.9. רשת משפטי רשת ומכאן, חישוב ההתנגדות השקולה פשוט והינו (3.9) Req = R3+ R R לכן, המעגל השקול לפי תבנין הוא: איור 3.9: חישוב ההתנגדות השקולה איור 3.: מעגל שקול לפי משפט תבנין 6

70 תורת המעגלים החשמליים דוגמא #: משפט נורטון נמצא כעת את שקול נורטון עבור אותו מעגל המתואר באיור 3.8. מקור הזרם השקול הינו הזרם הזורם לאחר שמקצרים את העומס בין ההדקים: משפטי רשת איור 3.: חישוב מקור זרם שקול לפי נורטון (3.) E V V I R I R = + = + SC 3 E R3 ISC = = SC + SC 3 R R + + R3 R I I I R (3.) R eq = = R3+ R R G eq וההתנגדות השקולה היא: לכן, המעגל השקול לפי נורטון הוא: 6

71 תורת המעגלים החשמליים משפטי רשת למעשה אנו שמים לב כי, R eq V oc ו- איור 3.: מעגל שקול לפי משפט נורטן I sc מקיימים מעצם הגדרתם את הקשר: Voc (3.) Req = I sc ולכן בשימוש במשפט תבנין-נורטון השקולים יהיו ידועים לנו. מספיק למצוא רק שניים משלושת הגדלים, על-מנת ששני 63

72 תורת המעגלים החשמליים משפטי רשת (Reciprocity Theorem) 3.4 משפט ההדדיות ' משפט זה מקשר בין הכניסה והיציאה של מעגל חשמלי במצב של תנאי התחלה אפס. נתונה רשת ליניארית פסיבית (ללא מקורות) N כמתואר באיור 3.3. הנחות על הרשת N ב. איור 3.3: רשת ליניארית פסיבית א. רשת ליניארית פסיבית (ללא רכיבים חד-כיווניים כגון, דיודה ו ללא מקורות). הרכיבים ברשת יכולים להיות תלויי-זמן או קבועים בזמן. אזי במעגלים הבאים מתקיים: רשת ' רשת רשת ליניארית פסיבית ' ' ' ' I = I רשת רשת 64 ' ' ' V = V איור 3.4: רשת ליניארית פסיבית משפט ההדדיות '

73 תורת המעגליםהחשמליים משטר מתמיד סינוסי הפרק הרביעי - משטר מתמיד סינוסי עד כה, עסקנו בתיאור הרכיבים הבסיסיים השונים אשר מרכיבים כל רשת חשמלית. כמו-כן הצגנו את משוואות המצב עבור רכיבים אלה, דהיינו את הקשר בין מפל המתח על-פני הרכיב לבין הזרם הזורם דרכו. בנוסף הצגנו משפטי רשת בסיסיים אשר יסייעו לנו בעתיד בעת פתרון מעגלים חשמליים מורכבים. כמובן, פתרון כל מעגל חשמלי מקובץ מתבסס בעיקר על יישום חוקי קירכהוף למתחים ולזרמים. בפרק זה, נדון במשפחה רחבה של רשתות חשמליות אשר מוזנות על-ידי מקורות מתח/זרם המשתנים הרמונית בזמן בתדר זוויתי נתון. כמובן, מקורות כאלה אינם אלה המקורות אשר מזינים כל מערכת זוויתית דרך חברת החשמל. ניתוח רשתות אלה מהווה בסיס לניתוח רשתות יותר מסובכות והמוזנות ממקורות שלאו דווקא משתנים הרמונית בזמן. בלימודים מתקדמים תלמדו איך ניתן לתאר כל אות רציף המשתנה בזמן מחזורי או לא כסכום (אינטגרל) של פונקציות הרמוניות המשתנות בזמן בתדרים שונים. במסגרת הפרק הנוכחי נעמוד על המאפיינים של מעגלים המוזנים מאותות סינוסיים המשתנים הרמונית בזמן, ונציג שיטת פתרון נוחה ופשוטה בהנחה שכל תופעות המעבר דעכו. בפרט אנו נלמד על שיטת הרישום הפאזורי וננצל את יתרונותיה לפתרון מעגלים מורכבים בהנחת משטר מתמיד סינוסי. 65

74 תורת המעגליםהחשמליים משטר מתמיד סינוסי 4. הנחות ייסוד א. מערכת ליניארית. המעגל מורכב כולו מרכיבים ליניאריים. ב. תופעות המעבר דעכו לאפס (מצב מתמיד). ג. העירור של המערכת הוא בתדר זוויתי יחיד ω. הערה: במקרה הכללי ביותר, יכולים להיות ברשת מקורות סינוסואידליים בתדרים שונים. הרשת ליניארית, התגובה תהיה סופרפוזיציה של התגובות למקורות נפרדים בתחום הזמן. אם 4. תיאור אות סינוסואידלי באמצעות פאזור כאשר העירור של המערכת הוא בתדר בודד, כל גודל סינוסואידלי בתדר העירור, בפאזה ובאמפליטודה נתונות כאשר (מתח או זרם) במערכת משתנה באופן (4.) xt ( ) = Xcos( ωt+ φ ) ω = π תדר זוויתי ) f תדר) f מתח או זרם, xt ( ) בזהות אוילר ניתן לרשום את הביטוי הנ"ל בצורה הבאה:, X אמפליטודה, φפאזה התחלתית. בהיעזר (4.) j( ωt+ φ) jω t jφ xt () = Xcos( ωt+ φ) = Re Xe = Re e Xe phasor 66

75 תורת המעגליםהחשמליים מגדירים את הפאזור של להיות משטר מתמיד סינוסי xt ( ) (4.3) X j ( ω ) = Xe φ ש ) ω X ( הוא מספר מרוכב בלתי-תלוי בזמן והוא מתאר את הגודל המתאים מתאר את התופעה בתחום הזמן. כאמור הקשר בין השניים בתחום התדר בדיוק כמו (4.4) () = cos( ω + φ) = Re ( ω) 4. j t xt X t X e ω cos xt () שים-לב: של מאחר ופונקצית ה- הצגה זו גם מקובלת בפיזיקה. הינה פונקציה זוגית, יכולנו לרשום את משוואה בהנדסת חשמל לרוב מקובל להניח במונחים השתנות הרמונית. e j ω t j t מהצורה.e ω 4.3 תכונות הפאזור X וש- X א. ליניאריות: α ו- α נניח כי הם סקלרים ממשיים הם ו- הפאזורים המתאימים ל (4.5).. α X, הינוX jω + α X ( ) + α ( ) α x t x t הינו xt ( ). x אזי הפאזור של ( t) ו- x ( t) ב. פאזור המתאים לנגזרת של אות המיוצג על-ידי הפאזור X d j t j t j t xt () = d Re Xe ω Re Xd e ω Re jω Xe ω dt dt = = dt 67

76 תורת המעגליםהחשמליים משטר מתמיד סינוסי ג. פאזור המתאים לאינטגרל של אות () xt המיוצג על-ידי הפאזור, X הינו. X jω המסקנה העיקרית מתכונות אלה היא שברישום פאזורי, אופרטור דיפרנציאלי הופך לאופרטור אלגברי לכן, כמו שנראה בהמשך, במקום לפתור מערכת של נוכל לפתור מערכת של משוואות אלגבריות בתחום התדר. משוואות דיפרנציאליות בתחום הזמן, 4.4 אימפדנס ואדמיטנס עבור רכיב ליניארי וקבוע בזמן, היחס בין פאזור המתח לפאזור הזרם מוגדר כאימפדנס הרכיב ונתון על-ידי: (4.6) jφ Z = = = I jφ Ie I I V V e V V j e ( φ φ ) V I לאימפדנס יחידות של התנגדות גודלו Z V = I 68 הפאזה שלו φ = φ φ בצורה דומה ניתן להגדיר את האדמיטנס בתור היחס בין פאזור הזרם לבין פאזור המתח, I דהיינו, = Y V Z z V I

77 תורת המעגליםהחשמליים נציג כעת את האימפדנס והאדמיטנס עבור הרכיבים הבסיסיים: א. נגד: משטר מתמיד סינוסי (4.7) () () jωt VR t = RIR t = RRe IRe VR = RIR ZR = R jωt VR() t = Re VRe האימפדנס של נגד אידיאלי הוא גודל ממשי טהור ואיננו תלוי בתדר. (4.8) d jωt VL() t = L IL() t = Re jω LILe dt VL = jωlil ZL = jωl jωt VL() t = Re VLe ב. סליל: האימפדנס של סליל הינו מדומה טהור ותלוי בתדר; המתח מקדים את הזרם ב- /.π ג. קבל: (4.9) d jωt IC() t = C VC() t = Re jωcvce dt IC = jωcvc YC = jωc jωt IC() t = Re ICe האימפדנס של קבל הינו מדומה טהור ותלוי בתדר; המתח מפגר אחר הזרם ב- /.π 69

78 תורת המעגליםהחשמליים משטר מתמיד סינוסי 4.5 דוגמא - מעגל RLC טורי בסעיף זה נלמד על המאפיינים העיקריים של מעגל RLC טורי כמתואר באיור 4.. המעגל מוזן על-ידי מקור מתח המשתנה הרמונית בזמן בתדר זוויתי נתון. בשלב ראשון, נשאלת השאלה, מהו האימפדנס או איור 4.: מעגל האדמיטנס השקול הנמדד בין הדקי המקור? אימפדנס כולל (4.) RLC טורי על סמך KVL אימפדנס הכניסה נתון על-ידי סכום האימפדנסים של הרכיבים השונים, דהיינו: ω Zin = Z R + Z L + Z C = R+ jωl+ j C = R+ jωl ω ω 7.ω = LC כאשר הגדרנו מתאר את גודל זה האימפדנס של הרכיב הופך להיות ממשי תדר התהודה טהור. בהמשך, האופייני של המעגל. נשים לב שאם נעמוד על מאפייני תדר התהודה (4.) Zin = R + ( ωl ωc ) L ω Zin = Zin e φin = atan ωc R ω = ω בהרחבה. על סמך (4.) ניתן לקבל, jφ in

79 תורת המעגליםהחשמליים משטר מתמיד סינוסי 7 (4.) I איור 4.: מעגל RLC טורי נבחן כעת את מפלי המתח על-פני הרכיבים השונים. לפי הגדרת אימפדנס הכניסה, הזרם דרכו שווה ליחס בין המתח השורר עליו לבין האימפדנס שלו, לפיכך: ( ω ) ( ω ) V s ( ω ) V = s = Z in R+ jω L+ המתח על כל אחד מהרכיבים (מחלק מתח) הינו VR ( ω) = RI ( ω) = R V Z s in jω L (4.3) VL( ω ) = Vs Z in V ( ) C ω = Vs jω CZ in נרשום כעת את אימפדנס הכניסה של המעגל באופן מפורש, ונבחן את התנהגות המעגל עבור מקרים שונים: ωl Zin R L exp jatan ωc ωc R (4.4) = + ( ω ) jωc

80 תורת המעגליםהחשמליים מקרה א. המקור מעורר את המעגל בתדר התהודה: משטר מתמיד סינוסי ω = ω = LC האימפדנס היחיד שרואה המקור במקרה זה הוא ההתנגדות של הנגד והסליל. אך שורר מתח על הקבל (4.5) jω L j V V L L s V R R C s ( ω = ω ) = ( ω ) = ( ω ) ( ω = ω ) = L ( ω ) = ( ω ) V C V s V jr C L כלומר המתחים על הקבל והסליל הם שווים בגודלם והפוכים בכיוונם. מקרה ב. = L - הסליל בעל השראות אפסית, או למעשה מעגל RC טורי: ωc ωrc (4.6) Z ( ω ) = R + exp jatan ( ) in (4.7) I ( ω ) V V = s = s Z in R + ωc ωrc ( ) exp jatan ( ) 7

81 תורת המעגליםהחשמליים משטר מתמיד סינוסי (4.9) j t V e I() t Re I ( ) e j t ω ω Re s = ω = R exp jatan + ωc ( ωrc) V = s cos ωt + φ atan s + R + ω C ( ) ωrc בדוגמא זו, הזרם מקדים את המתח ב- atan. ωrc מתח זרם מתח זרם איור 4.3: מתח המקור לעומת זרם הקבל 73

82 תורת המעגליםהחשמליים מקרה ג. C- הקבל בעל קיבול אינסופי (מהווה קצר), או למעשה מעגל RL טורי: משטר מתמיד סינוסי (4.) Z = R + ( L) exp jatan ωl ( ) (4.) ωl. atan R I ( ω ) in ω R V V = s = s Z in R + ωl exp jatan ωl R ( ωl) ( ) ( ) j t V e I() t Re I ( ) e j t ω ω Re s = ω = R + ( ωl) exp jatan ωl ( R ) V = S cos ωt + φ atan ωl ( ) s R R + האימפדנס מצביע על הפרש הפאזה הקיים במערכת.הזרם מפגר אחרי המתח ב- זרם זרם 74 איור 4.4: מתח המקור לעומת זרם בסליל מתח מתח

83 תורת המעגליםהחשמליים הערות משטר מתמיד סינוסי Z = jω L Z ( ω = ) = Z ( ω ) = L L L Z C = ZC( ω = ) = ZC( ω ) = jωc במעגלי זרם ישר ( = ω), הקבל מהווה נתק והסליל מהווה קצר. בתדרים גבוהים מאוד, הקבל מהווה בקירוב קצר והסליל מהווה בקירוב נתק. 75

84 תורת המעגליםהחשמליים משטר מתמיד סינוסי 4.6 ניתוח מעגלים בשיטת הצמתים ננתח עתה מעגל חשמלי במצב מתמיד סינוסי, נציג תחילה את שיטת הפתרון, דהיינו שיטת הצמתים (דיון מורחב על השיטה יובא בפרק 7). תיאור השיטה א. בוחרים צומת יחוס ) "אדמה") ומגדירים מתחי צמתים איור 4.5: שיטת הצמתים לפתרון מעגלים ב. מפעילים KCL על כל צומת למעט צומת הייחוס. ג. באמצעות אופיין הענפים (חוק אוהם לאימפדנסים) עוברים מזרמי הענפים למתחי הענפים. ד. מבטאים את מתחי הענפים במושגים של מתחי צמתים. () () (3) דוגמא: לפנינו המעגל החשמלי המתואר באיור 4.6, בהנחת מצב מתמיד יש למצוא את מתחי הצמתים וזרמי הענפים. 76 איור 4.6: מעגל דוגמא ליישום שיטת הצמתים במצב מתמיד סינוסי

85 תורת המעגליםהחשמליים למעט צומת הייחוס, ישנם שלושה צמתים נוספים. משטר מתמיד סינוסי () () (3) נגדיר את מתחיהם ביחס לצומת הייחוסV3,V.,V (4.) Is = IC + I + I I = IL + I3 I + I = I 3 C 4 נפעיל KCL בצמתים אלו באמצעות אופייני הענפים נעבור מזרמי הענפים למתחי הענפים, כאשר אלה מבוטאים על-ידי מתחי (4.3) V, V, הצמתים V3 V ( ) V V jωc V V3 + + = I s R R V( jωc+ G+ G) + V( G) + V3( jωc) = Is V V V V V3 = V( G) + V G G3 + V3( G3) R jωl R jωl = V V3 V ( ) + ( 3) + 3( 4 3) ( ) 3 V jωc V G V G + jωc+ G = + jωc V V3 = R3 R4 77

86 תורת המעגליםהחשמליים או ברישום מטריצי: משטר מתמיד סינוסי (4.4) Y Y jωc+ G + G G jωc V I s G G G 3 G V Y V I jω L = i = V jωc G 3 3 G 4 + jωc+ G 3 נשים לב שהמטריצה סימטרית וניתן אף "לנחש" אותה בהסתכלות על המעגל.. Y = jωc+ G + למשל, G ;i סכום האדמיטנסים המחוברים לצומת =Y ii = מינוס סכום האדמיטנסים המחוברים ישירות בין צומת i לצומת j; למשל, G =. Y מסקנה: בעיית חישוב מתחי הצמתים מצטמצמת להיפוך מטריצת האדמיטנסים. s Y ij () () (3) 78

87 תורת המעגליםהחשמליים משטר מתמיד סינוסי 4.7 ניתוח מעגלים בשיטת העיניים ננתח עתה מעגל חשמלי במצב מתמיד סינוסי ונציג דרך לפתרון בפרק 7). בשיטת העיניים (דיון מורחב יובא תיאור השיטה א. מגדירים זרמי עיניים עם כיוון השעון. עין היא לולאה סגורה שאינה מכילה ענפים פנימיים. ב. מפעילים KVL בכל עין. ג. באמצעות אופיין הענפים עוברים ממתחי הענפים לזרמי הענפים. ד. מבטאים את זרמי הענפים במונחים של זרמי העיניים. דוגמא: לפנינו המעגל החשמלי המתואר באיור מתמיד יש למצוא את זרמי העיניים. 4.7 בהנחת מצב איור 4.7: מעגל דוגמא ליישום שיטת העיניים במצב מתמיד סינוסי 79

88 תורת המעגליםהחשמליים ישנן שלוש עיניים במעגל זה. משטר מתמיד סינוסי (4.5) נגדיר את זרמיהן עם כיוון השעון בתורI3.,I,I V+ V + VL = V V + V3 VC = V V V = L 3 4 נפעיל KVL s 8 באמצעות אופייני הענפים נעבור ממתחי הענפים לזרמי הענפים, העיניים כאשר אלה מבוטאים על-ידי זרמי ( ) ω ( ) ( ) ( ) I, I, I3 ( ω ) ( ) ( ω ) R I + R I I + j L I I 3 = V I R + R + j L + I R + I 3 j L = V s s R I I + R 3 I 3 I I = I ( R ) + I R R 3 I 3( R 3) jωc + + jωc + = jωl( I I 3) R 3( I 3 I ) R 4 I 3 = I ( jωl) + I ( R 3) + I 3( jωl+ R 3 + R 4) = (4.6)

89 תורת המעגליםהחשמליים או ברישום מטריצי משטר מתמיד סינוסי (4.7) על המעגל Z R + R + jωl R jωl I V S R R R 3 R I = Zi I = V jωc s I jωl R 3 3 jωl+ R 3 + R 4 כמו במקרה הקודם, גם כאן המטריצה סימטרית וניתן אף "לנחש" אותה בהסתכלות באופן הבא: ( Z = R + R + jω L) i סכום האימפדנסים בלולאה Z= ii.( Z = R ) Z j ולולאה i מינוס האימפדנס המשותף ללולאה Z= ij 8

90 תורת המעגליםהחשמליים שיקולי הספק ואנרגיה במשטר מתמיד סינוסי משטר מתמיד סינוסי 4.8 עד כה, הגדרנו את הפאזור של המתח והזרם עבור רכיב כלשהו. נשאלת השאלה האם קיים פאזור להספק הרגעי של אותו רכיב? מהו הקשר בין ההספק לפאזורי המתח והזרם עבורו? כנ"ל, לגבי האנרגיה האגורה בקבל ובסליל! הספק: נניח עתה שידועים המתח והזרם על ענף מסוים במעגל. השאלה שנשאלת היא איזה אינפורמציה על ההספק ניתן להפיק ישירות מתוך הפאזורים של המתח והזרם? (4.8) (4.9) 8 () Pt jωt V () t = Re V ( ω) e jωt I() t = Re I ( ω) e על-מנת להתייחס לשאלה זו כדאי לזכור שההספק הרגעי נתון על-ידי = Vt () It () = V ( ω) e jωt + V - - ( ω) e jωt I j t j t ( ω) e ω + I ( ω) e ω = VIe jωt + V I e jωt + VI + V I 4 ( j t) ( ) VIe ω VI = Re + Re על-מנת לקבל מידע על ההספק בצורה ישירה משני הפאזורים נסתפק בביטוי להספק הממוצע

91 תורת המעגליםהחשמליים משטר מתמיד סינוסי (4.3) (4.3) T T () ( jωt) ( ) P = P t dt Re V I e Re V I dt T = + T ( ) ( ) V I P Re V I = Re = על בסיס ההגדרה הקודמת ניתן להגדיר את ההספק המרוכב: S V I = P + j Q * ZI Y V = = P הוא ההספק האקטיבי בענף הספק זה קשור להספק הנמסר על-ידי המקור במעגל או הספק אלקטרומגנטי שהופך לחום בנגדים. Q נקרא הספק עיוור או הספק ראקטיבי. הוא קשור לכמות האנרגיה האגורה ברכיב לאורך מחזור ואינה מתבזבזת, למשל אנרגיה מגנטית בסליל או אנרגיה חשמלית בקבל. הספק מרוכב ברכיבים בסיסיים: א. נגד: (4.3) R R R R S = V I = R I > R R R P = R I, Q = ההספק על הנגד הוא ממשי טהור (האימפדנס ממשי) ולכן אין הפרש פאזה בין המתח על הנגד והזרם דרכו. הנגד מבזבז אנרגיה אלקטרומגנטית. 83

92 תורת המעגליםהחשמליים ב. קבל: משטר מתמיד סינוסי (4.33) (4.34) ( ω ) C = C C = C C = ω C PC =, QC = ωcv C S V I V j CV j C V ההספק המרוכב על הקבל מדומה טהור. הקבל אינו מבזבז אנרגיה אלא רק אוגר אותה. ( ω ) L = L L = L L = ω L PL =, QL = ωl I L S V I j LI I j L I ג. סליל: ההספק המרוכב על הסליל מדומה טהור. הסליל אינו מבזבז אנרגיה, אלא רק אוגר אותה. אנרגיות: דיון דומה לזה שערכנו עבור ההספק ניתן לערוך עבור שתי האנרגיות החשמלית והמגנטית. ושוב השאלה שנשאלת היא, איזה אינפורמציה ישירה ניתן לקבל על האנרגיה במעגל מידיעת הפאזורים? נתחיל את הדיון בניתוח האנרגיה בקבל. האנרגיה החשמלית הרגעית האגורה בקבל ניתן לרשום (4.35) jωt () = ( ω) + ( ω) VC t VC e VC e - jωt jωt W () t = C V e + V V + ( V ) e jωt C 8 C C C C C () = () W t CV t ומאחר והגדרנו קודם כמו במקרה של ההספקים נבחן את האנרגיה החשמלית הממוצעת בזמן, התוצאה היא C 84